2009届高考数学快速提升成绩题型训练――导数

1. 讨论函数的增减性。

2 证明函数在区间上是单调增加的。

3. 求函数在区间上的最大值及最小值．

4. 已知某商品的需求函数为（为商品的价格），总成本函数为，若工厂有权自定价格，求每天生产多少个单位产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？

5. 已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.

6. 设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

   （1）求a、b、c、d的值；

   （2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你

的结论.

7. 知a＞0，函数，x∈[0，+∞)，设x₁＞0，记曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线为l．

   （1）求l的方程；

   （2）设l与x轴交点为(x₂，0)，证明：①x₂≥，②若，则．

8. 函数)

   （1）已知的展开式中的系数为，求常数

   （2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，恒成立？如存在，求出

的值，如不存在，说明理由.

9. 已知m为实数，函数f(x)=(x²－9)（x－m）在[-3,3]上都是递减的，求m取值范围。

10. 求函数的单调递增区间。

11. （1）已知：证明：   

（2）证明：方程 只有一个实根：.

12. 已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围。

13. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？

14. 已知的图象相切.

（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；

（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围。

15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。

16. 已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。

17. 研究函数的单调性.

18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.

19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.

20. （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；

　　（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。

21. 设，求函数的单调区间.

22. 求下列函数的单调区间：

⑴       ⑵

⑶            ⑷

23. 设f（x）=x³－3ax²+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间

24. 若函数y=x³－ax²+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围

25. 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间

26. 设f（x）=x³－－2x+5

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x∈［1，2］时，f（x）<m恒成立，求实数m的取值范围

27. 已知函数f（x）=x³－ax－1

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）证明f（x）=x³－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方

28. 已知函数f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求y=f（x）的单调递增区间

29. 求证下列不等式

（1）

（2）

（3）

30. 设，求函数的单调区间

答案：

1. 解：函数f(x)的定义域是，

令

将定义域分成了如下几个区间，列表如下：

x

-1

(-1,5)

5

+

0

-

0

+

f(x)

所以函数f(x)在上单调增加，在[-1,5]上单调减少。

2. 证明：因为函数f(x)在区间可导，且

所以，函数f(x)在区间上单调增加。

3. 解：

令，得驻点为，，

由于，，，比较各值，得函数在区间上的最大值为，最小值为．

如果函数在上连续，且在上仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在上的最大值；如果连续函数在上有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数在上的最小值．

4. 解：收入函数

利润函数

由于

令，得唯一的驻点

由于，所以为极大值点，也就是最大值点，所以当每日生产350个单位产品时，利润最大，此时价格为

个价格单位．

5.解

      令=0,得

     若a>0,

0

+

0

-

ㄊ

极大

ㄋ

     因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,

若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,

  …………（12分）

6．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

…………4分  ，

时，取极小值，解得…6分

  （2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且…………（*）…………10分

、，

此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………12分

7．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线的斜率
    ∴切线l的方程为，即…… 4分

(2)解：令y＝0得
　　①≥0  　(*)
　　∴，当且仅当时等号成立．

∵，∴(*)中“＝”不成立，故                 ………8分
　　
　　∵　∴，故x₂＜x₁
　　∴当时，成立．               ………………………12分

8．解（1）T_r+1=C  由  解得……3分

   ……6分

（2）  要使（

    只需……8分  1⁰当时，设

（0，

（，+）

―

0

+

极小值

……10分

2⁰当时，不成立  3⁰当时，不成立  故当……12分

另解法    只需

9. 很多学生认为，函数单调递增（递减）的充要条件是（）。事实上，（）只是函数单调递增（递减）的充分条件，而非必要条件。例如，我们知道函数在R上是增函数，但其导数0在R上恒成立，因此，函数在上单调递增（递减）的充要条件是：（）且在的任意子区间上都不恒为0。因此，本题的正确答案为.

10. 定义域作为构成函数的三要素之一，它直接制约着函数的解析式、图像和性质，在解题过程中，必须优先考虑函数的定义域，且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为，所以正确答案为.

11. 证明：（1）构造函数.。在上为增函数。

又。

（2）构造函数

上是增函数。

又，

12. 解法1（数形结合法）：依定义有，则。若

，则在上可设图的抛物线，当且仅当上满足，即在上是增函数，故